Sisällys
Tässä julkaisussa tarkastellaan matriisin asteen määritelmää sekä menetelmiä, joilla se voidaan löytää. Analysoimme myös esimerkkejä havainnollistaaksemme teorian soveltamista käytännössä.
Matriisin asteen määrittäminen
Matrix sijoitus on sen rivi- tai sarakejärjestelmän sijoitus. Jokaisella matriisilla on rivi- ja sarakearvonsa, jotka ovat keskenään yhtä suuret.
Rivijärjestelmän sijoitus on lineaarisesti riippumattomien rivien enimmäismäärä. Sarakejärjestelmän sijoitus määritetään samalla tavalla.
Huomautuksia:
- Nollamatriisin järjestys (merkitty symbolilla "θ”) minkä tahansa kokoinen on nolla.
- Minkä tahansa nollasta poikkeavan rivivektorin tai sarakevektorin sijoitus on yhtä suuri kuin yksi.
- Jos minkä tahansa kokoinen matriisi sisältää vähintään yhden elementin, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, sen arvo on vähintään yksi.
- Matriisin sijoitus ei ole suurempi kuin sen minimimitta.
- Matriisille suoritetut alkeismuunnokset eivät muuta sen järjestystä.
Matriisin arvon löytäminen
Fringing Minor -menetelmä
Matriisin arvo on yhtä suuri kuin nollasta poikkeavan maksimijärjestys.
Algoritmi on seuraava: löytää alaikäiset alhaisimmasta korkeimpaan. Jos alaikäinen njärjestys ei ole nolla, ja kaikki seuraavat (n + 1) ovat yhtä suuret kuin 0, joten matriisin sijoitus on n.
esimerkki
Selvittääksemme asian, otetaan käytännön esimerkki ja etsitään matriisin sijoitus A alla alaikäisten rajaamismenetelmää käyttäen.
Ratkaisu
Kyseessä on 4 × 4 matriisi, joten sen sijoitus ei voi olla korkeampi kuin 4. Matriisissa on myös nollasta poikkeavia elementtejä, mikä tarkoittaa, että sen arvo on vähintään yksi. Joten aloitetaan:
1. Aloita tarkistaminen toisen asteen alaikäiset. Aluksi otamme kaksi riviä ensimmäisestä ja toisesta sarakkeesta.
Pieni on nolla.
Siksi siirrymme seuraavaan sivuun (ensimmäinen sarake jää, ja toisen sijasta otamme kolmannen).
Molli on 54≠0, joten matriisin sijoitus on vähintään kaksi.
Huomautus: Jos tämä alaikäinen osoittautuisi nollaksi, tarkistamme edelleen seuraavat yhdistelmät:
Tarvittaessa luetteloa voidaan jatkaa samalla tavalla merkkijonoilla:
- 1 ja 3;
- 1 ja 4;
- 2 ja 3;
- 2 ja 4;
- 3 ja 4.
Jos kaikki toisen asteen alaikäiset olisivat yhtä suuria kuin nolla, niin matriisin sijoitus olisi yhtä suuri kuin yksi.
2. Onnistuimme melkein heti löytämään meille sopivan alaikäisen. Joten siirrytään eteenpäin kolmannen luokan alaikäiset.
Toisen asteen löydettyyn molliin, joka antoi nollasta poikkeavan tuloksen, lisäämme yhden rivin ja yhden vihreällä korostetuista sarakkeista (aloitamme toisesta).
Alaikäinen osoittautui nollaksi.
Siksi muutamme toisen sarakkeen neljänneksi. Ja toisella yrityksellä onnistumme löytämään molli, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa, että matriisin arvo ei voi olla pienempi kuin 3.
Huomautus: Jos tulos osoittautuisi jälleen nollaksi, niin toisen rivin sijasta ottaisimme neljännen pidemmälle ja jatkaisimme "hyvän" molin etsimistä.
3. Nyt on vielä selvitettävä neljännen luokan alaikäiset aiemmin löydettyjen perusteella. Tässä tapauksessa se vastaa matriisin determinanttia.
Alaikäinen on 144≠0. Tämä tarkoittaa, että matriisin sijoitus A on 4.
Matriisin pelkistys porrastettuun muotoon
Askelmatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin sen nollasta poikkeavien rivien lukumäärä. Toisin sanoen meidän tarvitsee vain saattaa matriisi sopivaan muotoon, esimerkiksi käyttämällä , joka, kuten edellä mainittiin, ei muuta sen arvoa.
esimerkki
Etsi matriisin arvo B alla. Emme ota liian monimutkaista esimerkkiä, koska päätavoitteemme on yksinkertaisesti havainnollistaa menetelmän soveltamista käytännössä.
Ratkaisu
1. Vähennä ensin kaksinkertaistettu ensimmäinen toiselta riviltä.
2. Vähennä nyt ensimmäinen rivi kolmannesta rivistä kerrottuna neljällä.
Siten saimme askelmatriisin, jossa nollasta poikkeavien rivien lukumäärä on kaksi, joten sen sijoitus on myös yhtä suuri kuin 2.