Tässä julkaisussa tarkastelemme yhtä affiinisen geometrian klassisista lauseista - Ceva-lausetta, joka sai sellaisen nimen italialaisen insinöörin Giovanni Cevan kunniaksi. Analysoimme myös esimerkkiä ongelman ratkaisusta esitetyn materiaalin vahvistamiseksi.
Lauseen lausunto
Kolmio annettu ABC, jossa jokainen kärki on yhdistetty vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen.
Siten saamme kolme segmenttiä (AA', BB' и CC'), joita kutsutaan cevians.
Nämä segmentit leikkaavat yhdessä pisteessä, jos ja vain, jos seuraava yhtäläisyys pätee:
|JA'| |EI'| |CB'| = |eKr.'| |SIIRTÄÄ'| |AB'|
Lause voidaan esittää myös tässä muodossa (määritetään missä suhteessa pisteet jakavat sivut):
Cevan trigonometrinen lause
Huomaa: kaikki kulmat on suunnattu.
Esimerkki ongelmasta
Kolmio annettu ABC pisteillä TO', B ' и C' sivuilla BC, AC и AB, vastaavasti. Kolmion kärjet yhdistetään annettuihin pisteisiin, ja muodostuneet segmentit kulkevat yhden pisteen kautta. Samalla pisteet TO' и B ' otettu vastaavien vastakkaisten sivujen keskipisteistä. Selvitä missä suhteessa piste C' jakaa puolen AB.
Ratkaisu
Piirretään piirustus tehtävän ehtojen mukaan. Käyttömukavuutemme vuoksi otamme käyttöön seuraavan merkinnän:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Jää vain muodostaa segmenttien suhde Ceva-lauseen mukaan ja korvata siihen hyväksytty merkintä:
Murtolukujen pienentämisen jälkeen saamme:
Siten, AC' = C'Beli piste C' jakaa puolen AB puoliksi.
Siksi kolmiossamme segmentit AA', BB' и CC' ovat mediaaneja. Kun ongelma on ratkaistu, todistimme, että ne leikkaavat yhdessä pisteessä (pätee mille tahansa kolmiolle).
Huomautus: Cevan lauseella voidaan todistaa, että kolmiossa yhdessä pisteessä puolittajat tai korkeudet leikkaavat myös.