Tässä julkaisussa pohditaan, mikä Gaussin menetelmä on, miksi sitä tarvitaan ja mikä sen periaate on. Esittelemme myös käytännön esimerkin avulla, kuinka menetelmää voidaan soveltaa lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen.
Kuvaus Gaussin menetelmästä
Gaussin menetelmä on klassinen menetelmä ratkaisemaan käytettyjen muuttujien peräkkäiseen eliminointiin. Se on nimetty saksalaisen matemaatikon Carl Friedrich Gaussin (1777-1885) mukaan.
Mutta ensin muistetaan, että SLAU voi:
- on yksi ainoa ratkaisu;
- on ääretön määrä ratkaisuja;
- olla yhteensopimattomia, eli niillä ei ole ratkaisuja.
Käytännön hyödyt
Gaussin menetelmä on loistava tapa ratkaista SLAE, joka sisältää enemmän kuin kolme lineaarista yhtälöä sekä järjestelmiä, jotka eivät ole neliömäisiä.
Gaussin menetelmän periaate
Menetelmä sisältää seuraavat vaiheet:
- suoraan – yhtälöjärjestelmää vastaava lisätty matriisi pelkistetään rivien yläpuolelta ylempään kolmiomaiseen (porrastettuun) muotoon, eli päälävistäjän alla tulee olla vain nollan suuruisia alkioita.
- takaisin – tuloksena olevassa matriisissa päädiagonaalin yläpuolella olevat elementit asetetaan myös nollaan (alempi kolmionäkymä).
Esimerkki SLAE-ratkaisusta
Ratkaistaan alla oleva lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä.
Ratkaisu
1. Aluksi esitämme SLAE:n laajennetun matriisin muodossa.
2. Nyt tehtävämme on nollata kaikki elementit päädiagonaalin alla. Muut toimet riippuvat tietystä matriisista, alla kuvataan tapauksemme soveltuvat toimet. Ensin vaihdetaan rivit, jolloin niiden ensimmäiset elementit asetetaan nousevaan järjestykseen.
3. Vähennä toisesta rivistä kahdesti ensimmäinen ja kolmannesta kolminkertaista ensimmäinen.
4. Lisää toinen rivi kolmanteen riviin.
5. Vähennä toinen rivi ensimmäisestä rivistä ja jaa samalla kolmas rivi -10:llä.
6. Ensimmäinen vaihe on suoritettu. Nyt meidän on saatava nollaelementit päädiagonaalin yläpuolelle. Voit tehdä tämän vähentämällä kolmannen kerrottuna 7:llä ensimmäisestä rivistä ja lisäämällä kolmannen kerrottuna 5:llä toiseen.
7. Lopullinen laajennettu matriisi näyttää tältä:
8. Se vastaa yhtälöjärjestelmää:
Vastaus: juuri SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.