Tässä julkaisussa tarkastelemme yhden tärkeimmistä geometrisista muodoista – kolmion – määritelmää, luokittelua ja ominaisuuksia. Analysoimme myös esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta esitetyn aineiston konsolidoimiseksi.
Kolmion määritelmä
Kolmio – Tämä on geometrinen kuvio tasossa, joka koostuu kolmesta sivusta, jotka muodostetaan yhdistämällä kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Merkinnässä käytetään erityistä symbolia – △.
- Pisteet A, B ja C ovat kolmion kärjet.
- Janat AB, BC ja AC ovat kolmion sivuja, jotka usein merkitään yhtenä latinalaisena kirjaimena. Esimerkiksi AB= a, BC = b, JA = c.
- Kolmion sisäosa on se osa tasosta, jota rajoittavat kolmion sivut.
Kolmion sivut kärjessä muodostavat kolme kulmaa, jotka on perinteisesti merkitty kreikkalaisilla kirjaimilla - α, β, γ jne. Tästä syystä kolmiota kutsutaan myös monikulmioksi, jossa on kolme kulmaa.
Kulmia voidaan merkitä myös erikoismerkillä "∠"
- α – ∠BAC tai ∠CAB
- β – ∠ABC tai ∠CBA
- γ – ∠ACB tai ∠BCA
Kolmion luokitus
Kulmien koosta tai yhtäläisten sivujen lukumäärästä riippuen erotetaan seuraavan tyyppiset hahmot:
1. teräväkulmainen – kolmio, jonka kaikki kolme kulmaa ovat teräviä, eli alle 90°.
2. tylppä Kolmio, jonka yksi kulmista on suurempi kuin 90°. Kaksi muuta kulmaa ovat teräviä.
3. Suorakulmainen – kolmio, jossa yksi kulmista on suora, eli on 90°. Tällaisessa kuvassa kahta suoran kulman muodostavaa sivua kutsutaan jaloiksi (AB ja AC). Kolmas oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu on hypotenuusa (BC).
4. Monipuolinen Kolmio, jonka kaikilla sivuilla on eri pituudet.
5. Tasainen – kolmio, jossa on kaksi yhtä suurta sivua, joita kutsutaan lateraaliseksi (AB ja BC). Kolmas puoli on pohja (AC). Tässä kuvassa kantakulmat ovat yhtä suuret (∠BAC = ∠BCA).
6. Tasasivuinen (tai oikea) Kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Myös sen kaikki kulmat ovat 60°.
Kolmion ominaisuudet
1. Mikä tahansa kolmion sivuista on pienempi kuin kaksi muuta, mutta suurempi kuin niiden ero. Mukavuuden vuoksi hyväksymme sivujen vakiomerkinnät - a, b и с… Sitten:
b – c < a < b + cAt b > c
Tätä ominaisuutta käytetään viivaosien testaamiseen sen selvittämiseksi, voivatko ne muodostaa kolmion.
2. Minkä tahansa kolmion kulmien summa on 180°. Tästä ominaisuudesta seuraa, että tylpässä kolmiossa kaksi kulmaa ovat aina teräviä.
3. Missä tahansa kolmiossa on suurempi kulma suurempaa sivua vastapäätä ja päinvastoin.
Esimerkkejä tehtävistä
Tehtävä 1
Kolmiossa tunnetaan kaksi kulmaa, 32° ja 56°. Etsi kolmannen kulman arvo.
Ratkaisu
Otetaan tunnetut kulmat muodossa α (32°) ja β (56°), ja tuntematon takana γ.
Kaikkien kulmien summan ominaisuuden mukaan a+b+c = 180°.
Näin ollen γ = 180 ° – a – b = 180 ° – 32 ° – 56 ° = 92 °.
Tehtävä 2
Annettu kolme segmenttiä, joiden pituus on 4, 8 ja 11. Selvitä, voivatko ne muodostaa kolmion.
Ratkaisu
Tehdään epäyhtälöt kullekin annetulle segmentille edellä käsitellyn ominaisuuden perusteella:
11 – 4 <8 <11 + 4
8 – 4 <11 <8 + 4
11 – 8 <4 <11 + 8
Kaikki ne ovat oikein, joten nämä segmentit voivat olla kolmion sivuja.