Fermatin pieni lause

Tässä julkaisussa tarkastelemme yhtä kokonaislukuteorian pääteoreemoista –  Fermatin pieni lauseNimetty ranskalaisen matemaatikon Pierre de Fermat'n mukaan. Analysoimme myös esimerkkiä ongelman ratkaisusta esitetyn materiaalin konsolidoimiseksi.

Lauseen lausunto

1. Alkukirjain

If p on alkuluku a on kokonaisluku, joka ei ole jaollinen psitten a^p-1 - 1 jaettuna p.

Se on muodollisesti kirjoitettu näin: a^p-1 ≡ 1 (vastaan p).

Huomautus: Alkuluku on luonnollinen luku, joka on jaollinen vain XNUMX:lla ja itsellään ilman jäännöstä.

Esimerkiksi:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• numero 15 jaettuna 5 ilman jäännöstä.

2. Vaihtoehtoinen

If p on alkuluku, a mikä tahansa kokonaisluku siis a^p verrattavissa a modulo p.

a^p ≡ a (vastaan p)

Todisteiden löytämisen historia

Pierre de Fermat muotoili lauseen vuonna 1640, mutta ei todistanut sitä itse. Myöhemmin tämän teki Gottfried Wilhelm Leibniz, saksalainen filosofi, loogikko, matemaatikko jne. Uskotaan, että hänellä oli todiste jo vuonna 1683, vaikka sitä ei koskaan julkaistu. On huomionarvoista, että Leibniz löysi lauseen itse tietämättä, että se oli jo muotoiltu aiemmin.

Lauseen ensimmäinen todistus julkaistiin vuonna 1736, ja se kuuluu sveitsiläiselle, saksalaiselle sekä matemaatikolle ja mekaanikolle Leonhard Eulerille. Fermatin pieni lause on Eulerin lauseen erikoistapaus.

Esimerkki ongelmasta

Etsi luvun loppuosa 2¹² on 12.

Ratkaisu

Kuvitellaanpa numero 2¹² as 2-2¹¹.

11 on alkuluku, joten Fermatin pienellä lauseella saamme:

2¹¹ ≡ 2 (vastaan 11).

Siten, 2-2¹¹ ≡ 4 (vastaan 11).

Siis numero 2¹² jaettuna 12 jonka loppuosa on yhtä suuri 4.