Kompleksiluvun nostaminen luonnolliseksi potenssiksi

Tässä julkaisussa pohditaan, kuinka kompleksiluku voidaan nostaa potenssiin (mukaan lukien käyttämällä De Moivren kaavaa). Teoreettisen materiaalin mukana on esimerkkejä ymmärtämisen helpottamiseksi.

Kompleksiluvun nostaminen potenssiksi

Muista ensin, että kompleksiluvulla on yleinen muoto: z = a + bi (algebrallinen muoto).

Nyt voimme siirtyä suoraan ongelman ratkaisuun.

Neliönumero

Voimme esittää tutkinnon samojen tekijöiden tulona ja sitten löytää heidän tuotteensa (kun muistamme sen i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Esimerkki 1:

z = 3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Voit myös käyttää, nimittäin summan neliötä:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Huomautus: Samalla tavalla voidaan tarvittaessa saada kaavat erotuksen neliölle, summan / erotuksen kuutiolle jne.

N astetta

Nosta kompleksiluku z luontoissuorituksina n paljon helpompaa, jos se esitetään trigonometrisessa muodossa.

Muista, että yleisesti ottaen numeron merkintätapa näyttää tältä: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Voit käyttää eksponentiointia De Moivren kaava (niin nimetty englantilaisen matemaatikon Abraham de Moivren mukaan):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Kaava saadaan kirjoittamalla trigonometriseen muotoon (moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään).

Esimerkki 2

Nosta kompleksiluku z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) kahdeksanteen asteeseen asti.

Ratkaisu

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).