Kompleksiluvun juuren erottaminen

Tässä julkaisussa tarkastellaan, kuinka voit ottaa kompleksiluvun juuren ja kuinka tämä voi auttaa ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä, joiden erottelukyky on pienempi kuin nolla.

Kompleksiluvun juuren erottaminen

Neliöjuuri

Kuten tiedämme, on mahdotonta ottaa negatiivisen reaaliluvun juuria. Mutta kun kyse on kompleksiluvuista, tämä toiminto voidaan suorittaa. Selvitetään se.

Oletetaan, että meillä on numero z = -9. Foorumi √-9 on kaksi juurta:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Tarkastetaan saatuja tuloksia ratkaisemalla yhtälö z² =-9, sitä unohtamatta i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ minä² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ minä² = 9 ⋅ (-1) = -9

Olemme siis todistaneet sen -3i и 3i ovat juuret √-9.

Negatiivisen luvun juuri kirjoitetaan yleensä näin:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i ja niin edelleen

Juuri n:n potenssiin

Oletetaan, että meille annetaan muodon yhtälöt z = ⁿ√w… Sillä on n juuret (z₀, Ja₁, Ja₂,…, z_n-1), joka voidaan laskea alla olevalla kaavalla:

|w| on kompleksiluvun moduuli w;

φ – hänen argumenttinsa

k on parametri, joka ottaa arvot: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Neliöyhtälöt monimutkaisilla juurilla

Negatiivisen luvun juuren erottaminen muuttaa uXNUMXbuXNUMXb:n tavallista ideaa. Jos syrjivä (D) on pienempi kuin nolla, silloin todellisia juuria ei voi olla, mutta ne voidaan esittää kompleksilukuina.

esimerkki

Ratkaistaan ​​yhtälö x² – 8x + 20 = 0.

Ratkaisu

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, mutta voimme silti ottaa negatiivisen syrjinnän juuren:

√D = √-16 = ±4i

Nyt voimme laskea juuret:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Siksi yhtälö x² – 8x + 20 = 0 sillä on kaksi monimutkaista konjugaattijuurta:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i