Mikä on funktion raja

Tässä julkaisussa tarkastellaan yhtä matemaattisen analyysin pääkäsitteitä – funktion rajaa: sen määritelmää sekä erilaisia ​​ratkaisuja käytännön esimerkein.

Funktion rajan määrittäminen

Toiminnan raja – arvo, johon tämän funktion arvo pyrkii, kun sen argumentti pyrkii rajapisteeseen.

Rajatietue:

• raja ilmaistaan ​​kuvakkeella lim;
• sen alle lisätään, mihin arvoon funktion argumentti (muuttuja) pyrkii. Yleensä tämä x, mutta ei välttämättä esimerkiksi:x→1″;
• sitten itse funktio lisätään oikealle, esimerkiksi:

  

Siten rajan lopullinen tietue näyttää tältä (meidän tapauksessamme):

Lukee kuin "funktion raja, koska x pyrkii yhtenäisyyteen".

x→ 1 - tämä tarkoittaa, että "x" ottaa johdonmukaisesti arvot, jotka lähestyvät loputtomasti yhtenäisyyttä, mutta eivät koskaan ole sen kanssa samat (se ei saavuteta).

Päätöksen rajat

Tietyllä numerolla

Ratkaistaan ​​yllä oleva raja. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti korvaamalla yksikön toiminnossa (koska x→1):

Siten rajan ratkaisemiseksi yritämme ensin yksinkertaisesti korvata annetun luvun sen alla olevaan funktioon (jos x pyrkii tiettyyn numeroon).

äärettömyyden kanssa

Tässä tapauksessa funktion argumentti kasvaa äärettömästi, eli "X" taipumus äärettömyyteen (∞). Esimerkiksi:

If x→∞, silloin annettu funktio pyrkii miinus äärettömään (-∞), koska:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 jne.

Toinen monimutkaisempi esimerkki

Tämän rajan ratkaisemiseksi myös yksinkertaisesti nosta arvoja x ja katso funktion "käyttäytymistä" tässä tapauksessa.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Siten, varten "X"taipumus äärettömyyteen, toiminto x² + 3x - 6 kasvaa loputtomasti.

Epävarmuudella (x on taipumus äärettömään)

Tässä tapauksessa puhutaan rajoista, kun funktio on murtoluku, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja. Jossa "X" taipumus äärettömyyteen.

Esimerkiksi: lasketaan alla oleva raja.

Ratkaisu

Sekä osoittajan että nimittäjän lausekkeet pyrkivät äärettömään. Voidaan olettaa, että tässä tapauksessa ratkaisu on seuraava:

Kaikki eivät kuitenkaan ole niin yksinkertaisia. Rajan ratkaisemiseksi meidän on tehtävä seuraava:

1. löytö x osoittajan korkeimpaan potenssiin (meidän tapauksessamme se on kaksi).

2. Samoin määrittelemme x nimittäjän korkeimpaan potenssiin (on myös kaksi).

3. Nyt jaetaan sekä osoittaja että nimittäjä x ylimmässä tutkinnossa. Meidän tapauksessamme molemmissa tapauksissa - toisessa, mutta jos ne olisivat erilaisia, meidän pitäisi ottaa korkein aste.

4. Tuloksena olevassa tuloksessa kaikki murtoluvut ovat yleensä nolla, joten vastaus on 1/2.

Epävarmuudella (x pyrkii tiettyyn numeroon)

Sekä osoittaja että nimittäjä ovat polynomeja, mutta "X" pyrkii tiettyyn numeroon, ei äärettömyyteen.

Tässä tapauksessa suljemme ehdollisesti silmämme sille, että nimittäjä on nolla.

Esimerkiksi: Etsitään alta funktion raja.

Ratkaisu

1. Korvataan ensin numero 1 funktioon, johon "X". Saamme tarkastelemamme muodon epävarmuuden.

2. Seuraavaksi jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöiksi. Voit tehdä tämän käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja, jos ne ovat sopivia, tai.

Meidän tapauksessamme lausekkeen juuret osoittajassa (2x² – 5x + 3 = 0) ovat numerot 1 ja 1,5. Siksi se voidaan esittää seuraavasti: 2(x-1)(x-1,5).

Nimittäjä (x–1) on aluksi yksinkertainen.

3. Saamme tällaisen muokatun rajan:

4. Murtolukua voidaan pienentää (x–1):

5. Jää vain korvata luku 1 rajan alle saadussa lausekkeessa: