Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä

Tässä julkaisussa tarkastellaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (SLAE) määritelmää, miltä se näyttää, mitä tyyppejä on olemassa, ja myös kuinka se esitetään matriisimuodossa, myös laajennetussa muodossa.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän määritelmä

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä (tai "SLAU" lyhyesti) on järjestelmä, joka näyttää yleensä tältä:

• m on yhtälöiden lukumäärä;
• n on muuttujien lukumäärä.
• x₁, x₂,…, x_n – tuntematon;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – tuntemattomien kertoimet;
• b₁, b₂,…, b_m – ilmaiset jäsenet.

Kerroinindeksit (a_ij) muodostetaan seuraavasti:

• i on lineaarisen yhtälön numero;
• j on sen muuttujan numero, johon kerroin viittaa.

SLAU ratkaisu – sellaisia ​​lukuja c₁C₂,…, c_n , jonka asetuksissa sen sijaan x₁, x₂,…, x_n, kaikki järjestelmän yhtälöt muuttuvat identiteeteiksi.

SLAU:n tyypit

1. Homogeeninen – kaikki järjestelmän vapaat jäsenet ovat yhtä suuria kuin nolla (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. heterogeeninen – jos yllä oleva ehto ei täyty.
3. Neliö – yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, ts m = n.

   

4. Alimääräinen – tuntemattomien määrä on suurempi kuin yhtälöiden määrä.

   

5. ohitettu Yhtälöitä on enemmän kuin muuttujia.

   

Ratkaisujen lukumäärästä riippuen SLAE voi olla:

1. Yhteinen on ainakin yksi ratkaisu. Lisäksi, jos se on ainutlaatuinen, järjestelmää kutsutaan määrätyksi, jos ratkaisuja on useita, sitä kutsutaan määrittelemättömäksi.

   

   Yllä oleva SLAE on yhteinen, koska siihen on ainakin yksi ratkaisu: x = 2, y = 3.

2. yhteensopimaton Järjestelmässä ei ole ratkaisuja.

   

   Yhtälöiden oikeat puolet ovat samat, mutta vasemmat eivät. Ratkaisuja ei siis ole.

Järjestelmän matriisimerkintä

SLAE voidaan esittää matriisimuodossa:

AX = B

• A on matriisi, jonka muodostavat tuntemattomien kertoimet:

  

• X – muuttujien sarake:

  

• B – ilmaisten jäsenten sarake:

  

esimerkki

Esitämme alla olevan yhtälöjärjestelmän matriisimuodossa:

Yllä olevien lomakkeiden avulla muodostamme päämatriisin kertoimilla, sarakkeilla tuntemattomilla ja vapailla jäsenillä.

Täydellinen tietue annetusta yhtälöjärjestelmästä matriisimuodossa:

Laajennettu SLAE Matrix

Jos järjestelmän matriisiin A Lisää vapaat jäsenet -sarake oikealle B, erottamalla tiedot pystypalkilla, saat laajennetun SLAE-matriisin.

Yllä olevassa esimerkissä se näyttää tältä:

– laajennetun matriisin nimi.